Занятия проходят в дистанционном формате в вечернее время по понедельникам, средам и четвергам с 16.00 до 20.00
В результате изучения курса слушатель должен знать:
базовые понятия и теоремы, дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной, теории числовых и функциональных рядов; уметь:
применять полученные знания к решению задач дифференциального и интегрального исчисления функции одной переменной;
применять полученные знания к решению задач к исследованию функциональных зависимостей и построению графиков функций;
применять полученные знания к решению задач теории числовых и функциональных рядов, определять условия их сходимости. иметь представление о:
месте и роли математики в современном мире, мировой культуре и истории; о математическом мышлении, индукции и дедукции в математике, принципах математических рассуждений и математических доказательств; об основных понятиях дифференциального и интегрального исчисления, теории функций и функционального анализа
Необходимая предварительная подготовка:
Слушатель должен иметь математическое образование в объёме программы средней школы и иметь навыки самостоятельной работы.
Преподаватель курса -
Никифоров Дмитрий
Цель курса:
Знакомство с основными понятиями, положениями и методами дифференциального и интегрального исчисления, теории функций и функционального анализа, получение навыков построения математических доказательств путем логически непротиворечивых рассуждений, навыков решения прикладных задач.
Тема 1. Множества
Основные черты математического мышления, аксиоматический подход, математические доказательства, прямая, обратная и противоположная теоремы. Индукция и дедукция, бином Ньютона. Элементы и множества, конечные и бесконечные множества, отношения и отображения. Операции над множествами. Понятие размерности, множества дробной размерности.
Тема 2. Числовая последовательность
Определение числовой последовательности. Монотонные последовательности, возрастающие и убывающие, невозрастающие и неубывающие, ограниченные и неограниченные числовые последовательности. Понятие верхней и нижней граней. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности, связь между ними.
Тема 3. Функция
Определение функции, область ее определения и область значений. Характеристики поведения функций: четность и нечетность, возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, ограниченность, периодичность. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Замечательные кривые. Неявные функции. Сложные и обратные функции, их графики.
Тема 4. Предел функции
Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Предел слева и справа. Свойства пределов: арифметические действия над функциями, имеющими пределы, предельные переходы в неравенствах функций, имеющих пределы.
Тема 5. Непрерывность функции
Непрерывность функции, непрерывность слева и справа. Выколотая точка, точки разрыва первого и второго рода. Арифметические действия над непрерывными функциями, непрерывность сложной функции. Свойства непрерывных функций.
Тема 6. Производная и дифференциал
Приращение функции, производная, дифференцируемость функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Геометрический смысл производной, уравнения касательной и нормали. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Правила дифференцирования. Формулы дифференцирования основных элементарных функций. Производные сложной и обратной функции. Логарифмическое дифференцирование. Производная от неявной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя.
Тема 7. Возрастание и убывание функции. Локальные экстремумы
Достаточный признак возрастания (убывания) функции одной переменной. Экстремумы функции (максимум и минимум). Необходимое условие экстремума, достаточные признаки экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Тема 8. Вогнутость и выпуклость функции. Точки перегиба
Определение выпуклой (вогнутой) функции, и точки перегиба графика функции. Необходимое условие точки перегиба. Достаточные признаки вогнутости (выпуклости) и наличия точек перегиба. Касательная к графику функции в точке перегиба.
Тема 9. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков
Асимптоты графика функции (вертикальная, горизонтальная, наклонная). Понятие об асимптотическом разложении. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
Тема 10. Неопределённые интегралы
Первообразная, неопределенный интеграл, его свойства. Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула интегрирования «по частям». Интегрирование простейших рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие: случаи неповторяющихся линейных действительных множителей знаменателя и неповторяющихся квадратичных его множителей. Интегрирование тригонометрических и простейших иррациональных функций.
Тема 11. Определенные интегралы
Интегральные суммы Римана и Дарбу. Определенный интеграл, его геометрический смысл, свойства. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Геометрический смысл определенного интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Формулы замены переменной и интегрирования «по частям» для определенного интеграла. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объёмов тел вращений. Методы приближенных вычислений определенных интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона.
Тема 12. Несобственные интегралы
Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства. Признаки сходимости несобственных интегралов.
Тема 13. Числовые ряды
Понятие числового ряда, частичные суммы, определение сходимости и расходимости числового ряда. Сумма числового ряда как предел последовательности частичных сумм. Сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Свойства сходящихся рядов. Критерий Коши. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд.
